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Con questo post cercherò di introdurre uno degli aspetti fondamentali che distinguono la meccanica quantistica, e con essa tutta la fisica moderna, dalla fisica di Galileo e di Newton. Nelle due puntate precedenti ho parlato della quantizzazione di alcune grandezze fisiche. Ho anche discusso in dettaglio un caso molto importante, quello del momento magnetico degli atomi. Come abbiamo visto, per quanto riguarda la componente del momento magnetico lungo un qualsiasi asse fissato, ogni atomo può presentare soltanto alcuni valori possibili. Nel caso dell’atomo di argento studiato da Stern e Gerlach nel 1922, i valori possibili sono soltanto due: li distingueremo con il loro valore in appropriate unità di misura, che è rispettivamente di +1/2 e -1/2. L’atomo di argento è da questo punto di vista un sistema a due stati.
È una cosa grave? Ebbene, sì. Ora devo spiegarvi perché, e chi sia il signore della fotografia…

Una grandezza vettoriale come il momento magnetico è rappresentabile con una freccia. Immaginiamo allora una freccia F su un piano cartesiano, caratterizzato da due assi coordinati, x e y. Possiamo proiettare la freccia su ciascuno degli assi: chiamiamo F_x e F_y le due proiezioni.
Se la proiezione di F lungo un asse qualsiasi è quantizzata, questo vuol dire che, misurando ad esempio F_y, otterremo sempre gli stessi valori. Nel caso del momento magnetico, otterremo sempre o +1/2 o -1/2. Il nostro apparato di misura non darà mai risposte diverse da queste.
E se misuriamo F_x? La risposta è obbligata, perché il nome che diamo a ciascun asse è soltanto una convenzione. Per la Natura, non c’è alcuna distinzione di principio fra un asse x, un asse y e un asse w orientato ad esempio a 45° gradi rispetto agli altri due. Qualunque sia l’asse rispetto al quale misuriamo la componente del momento magnetico, la risposta sarà sempre +1/2 o -1/2. Su questo non possono esserci dubbi…

… O no?

Una difficoltà quasi insormontabile
Il nuovo disegno mostra la situazione paradossale in cui ci siamo venuti a trovare, dopo pochi passi apparentemente innocui. La nostra freccia F non può avere lo stesso valore della proiezione lungo tutti i possibili assi! Se la lunghezza della proiezione è +1/2 lungo due assi qualsiasi, già lungo un terzo asse orientato a 45° la proiezione dovrà essere maggiore di 1/2. Il teorema di Pitagora lo impone, come è facile vedere. Eppure l’esperimento di Stern e Gerlach mostra che, quando misuriamo una proiezione del momento magnetico, il risultato è invariabilmente +1/2 o -1/2.
Come usciamo da questa contraddizione?

Come sempre accade in circostanze così drammatiche, in fisica e non soltanto in fisica, bisogna fare delle rinunce. Ma a cosa rinunciare? Al risultato dell’esperimento di Stern e Gerlach non possiamo rinunciare, perché è un dato di fatto. Alla geometria nemmeno, perché si basa sulla logica. Il solo dettaglio del quale possiamo sbarazzarci – sia pure molto a malincuore – è l’ipotesi di poter misurare più di una proiezione di F alla volta. L’esperimento di Stern e Gerlach ci permette di misurare una sola proiezione alla volta. Cosa succede se proviamo a misurarne due, una dopo l’altra?

Esperimenti ripetuti
Eseguiamo una serie di esperimenti.

Primo esperimento: Facciamo passare un fascio di atomi di argento attraverso un apparato di Stern e Gerlach orientato in modo da misurare la proiezione del momento magnetico lungo x. Ignoriamo il mezzo fascio uscente che ha F_x = -1/2, e facciamo passare l’altro mezzo fascio attraverso un secondo apparato di Stern e Gerlach orientato sempre lungo x. In uscita dal secondo apparato troviamo un solo fascio, corrispondente ancora a F_x = +1/2. Il valore della proiezione lungo un certo asse non cambia nel tempo. Nel disegno si vede un contatore di atomi che indica 314 atomi in uscita da F_x = +1/2 e nessuno in uscita da F_x = -1/2.

Secondo esperimento: Dopo il primo apparato orientato lungo x poniamo un apparato orientato lungo y. Il fascio con F_x = +1/2 si divide in due fasci, uno con F_y = +1/2 e l’altro con F_y = +1/2, contenenti ciascuno approssimativamente il 50% degli atomi. Questo risultato ce lo potevamo aspettare: sappiamo che gli atomi in ingresso al secondo apparato hanno F_x = +1/2 ma non sappiamo nulla sul valore di F_y; quindi è ragionevole che ci sia una probabilità del 50% di ottenere ciascuno dei due risultati possibili.

 Terzo esperimento (attenti, ora…): Aggiungiamo un terzo apparato, orientato di nuovo lungo x. Ora ci aspettiamo che in uscita dall’ultimo apparato ci sia un solo fascio. Abbiamo già scelto gli atomi con F_x = +1/2 e abbiamo già verificato che il valore di una componente non cambia nel tempo. Gli atomi che attraversano il secondo apparato hanno F_x = +1/2 e quindi dovrebbero uscire tutti dalla stessa uscita del terzo apparato…
E invece…

Il valore di F_x non è più determinato dopo che gli atomi hanno attraversato l’apparato orientato lungo y. Su di esso non sappiamo più nulla, se non che la probabilità di ciascun valore è del 50%, come si vede dal conteggio.

Eccoci accontentati. Eravamo nei guai perché sembrava che due diverse proiezioni di F dovessero avere entrambe il valore +1/2, e questo ci portava a una contraddizione. Bene, niente contraddizione. L’atomo non può avere un valore di più di una proiezione di F. Se la proiezione lungo un asse particolare è assegnata, le altre sono indeterminate. Possiamo dare soltanto la probabilità che abbiano il valore +1/2 o -1/2.
(Se qualcuno di voi sta pensando: "Ma se non posso assegnare più di una proiezione, non posso neppure fare il disegno! Una freccia ha per forza un valore determinato di qualsiasi proiezione!" Ebbene, bravo, è proprio così, basta disegni, in meccanica quantistica vige una sorta di interdetto a farsi immagini…)

Il principio di indeterminazione
Il fenomeno che abbiamo appena incontrato è al cuore della meccanica quantistica. Il fatto che alcune grandezze siano quantizzate non è altrettanto importante. Ciò che davvero segna una rottura con la fisica classica è il fatto che soltanto alcune grandezze possano di volta in volta avere un valore determinato. Le altre grandezze restano necessariamente indeterminate.
Questo è il contenuto del principio di indeterminazione, enunciato da Werner Heisenberg (sì, proprio il signore il cui ritratto apre questo post…) nel 1927. Secondo questo principio, alcune grandezze fisiche (come le diverse proiezioni del momento magnetico) sono mutuamente incompatibili: se una di esse ha un valore determinato, le altre non possono averlo. Nella formulazione originaria, il principio di Heisenberg si riferisce alla posizione e alla velocità (o più precisamente alla quantità di moto) di un elettrone. A tale formulazione si riferisce la formula riprodotta qui a fianco.

Il principio di indeterminazione vi crea dei problemi? Beh, li crea praticamente a tutti. Come rinuncia, rappresenta una rinuncia davvero importante. A causa dell’indeterminazione quantistica, è impossibile farsi delle immagini intuitive dei processi fondamentali. Possiamo evitarlo? Sembra proprio di no. Da più di ottant’anni le migliori menti della fisica hanno cercato di demolire questo principio senza riuscirci. I dispositivi basati sulla meccanica quantistica (alcuni dei quali li state usando anche ora per leggere questo post) sono progettati grazie al principio di indeterminazione. Ne parleremo, spero, in altri post.

Per approfondire:

La pagina Wikipedia su Werner Heisenberg, premio Nobel per la Fisica nel 1932.

Le argomentazioni di questo post sono basate su un bel libro di Dan Styer, The Strange World of Quantum Mechanics. Vi invito a visitarne il sito, e a giocare con il software sviluppato per simulare gli esperimenti di Stern e Gerlach.