Ricevo da Simone la seguente domanda:
a) Dati l’equazione della parabola \(y=-x^2+2x+3\) e l’equazione della retta \(2x+y-7=0\) determinare sul segmento di retta compreso nel primo quadrante, un punto \(P\) in modo che sia verificata la relazione \(PA^2+PB^2=k\), essendo \(A\) e \(B\) le intersezioni della parabola rispettivamente con l’asse \(y\) e con la parte positiva dell’asse \(x\).
b) Le due parabole di equazione: \(y=x^2/4\) e \(y=-x^2+5\) hanno in comune i due punti \(A\) e \(B\). Si conducano due rette parallele all’asse delle \(y\) e simmetriche rispetto a tale asse e si indichino con \(P\) e \(Q\) i punti in cui ciascuna di esse taglia l’arco \(AB\) della prima parabola e con \(M\) e \(N\) i punti in cui ciascuna di esse incontra l’arco \(AB\) della seconda parabola.
Determinare la posizione delle suddette rette in modo che sia \(2p\) il perimetro del rettangolo \(PQNM\).
Del secondo problema m’interessa soprattutto l’impostazione e la discussione del quesito in funzione di \(p\)!!
Grazie per l’attenzione sempre "in tempo reale" e buona giornata!!
Ricevo da Alessandra la seguente domanda:
Gentile professore gradirei sapere come si studia una conica con parametri, utilizzando gli invarianti \(A\), \(a_{33}\), ecc. Esempio:
\[2x^2-ky^2-2ky+4x+k-1=0\;.\]
La ringrazio anticipatamente
Alessandra
Ricevo da Simone la seguente domanda:
Una parabola passante per \(A\) e \(B\) divide il triangolo \(ABC\) in due parti equivalenti. Supposto \(ABC\) equilatero di lato 3 cm e l’asse della parabola perpendicolare al segmento \(AB\), in un conveniente sistema di riferimento si determinino:
1) le coordinate di \(A\), \(B\) e \(C\);
2) l’equazione della parabola;
3) l’equazione del cerchio inscritto al triangolo \(ABC\).
Gentile prof,
in generale qual è il metodo per individuare la circonferenza inscritta in una data figura geometrica, che può essere un triangolo, un quadrato ecc.?
Se fosse invece circoscritta?
Saluti da Roma!
Ricevo da Marco la seguente domanda:
Salve professore volevo chiedere se mi poteva risolvere questo problema.
È data la parabola \(\Gamma\) di equazione \(y^2=4x\); siano \(t\) la generica tangente, \(r\) la tangente nel vertice, \(s\) la retta normale a \(t\) nel punto in cui questa interseca la retta \(r\); verifica che tutte le rette \(s\) appartengono al fascio avente centro nel fuoco della parabola. Considera poi il punto \(A\) su \(\Gamma\) e siano \(H\) la sua proiezione sull’asse \(x\) e \(K\) il simmetrico di \(H\) rispetto all’origine degli assi; verifica che la retta \(KA\) è tangente alla parabola. Scrivi infine l’equazione dell’ellisse \(x^2/a^2+y^2/b^2=1\) che ha fuoco nel fuoco della parabola e delimita una parte di piano di area \(2\pi\sqrt{3}\).
Grazie in anticipo