Ricevo da Francesca la seguente domanda:
Buongiorno professore, mi rivolgo a lei per un chiarimento in quanto ho trovato nello studio un concetto che mi risulta un pò difficile da capire; il problema riguarda la definizione di insieme numerabile e precisamente:
Sia \(X\) un insieme. Se esiste una successione \(a_n\) a valori in \(X\) che è biettiva allora \(X\) si dice insieme numerabile.
Il testo mostra come esempi di insiemi numerabili \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\) e \(\mathbb{Q}\), mentre afferma che l’insieme dei numeri reali \(\mathbb{R}\) non lo è; per quale motivo \(\mathbb{R}\) non può essere considerato un insieme numerabile?
In attesa di un suo riscontro ringrazio in anticipo per la cortesia e disponibilità.
Cordiali saluti
Ricevo da M. la seguente domanda:
Salve,
sto preparando un’introduzione sui risultati dei teoremi dell’incompletezza di Goedel come tesina per la maturità. Volevo partire da un quadro storico per poi entrare nell’ambito matematico di quegli anni e riguardando il materiale di cui dispongo mi sono accorto di essermi imbattuto in un argomento troppo vasto che si estende fino all’intelligenza artificiale e alla teoria della complessità. Pertanto volevo chiederle se poteva consigliarmi i punti più importanti da trattare e magari anche un punto di ‘arrivo’ soddisfacente in modo da poter costruire una scaletta dignitosa ma finita e non eccessivamente pesante. Grazie
Gli rispondo così:
Caro M.,
innanzitutto ti segnalo, forse inutilmente perché probabilmente lo avrai visto, il breve articolo da me pubblicato in questa rubrica il 14/06 in risposta a Matteo che chiedeva consigli per una tesina sul concetto di verità: ovvio il collegamento al tema di tuo interesse, e quindi penso ti possano tornare utili gli spunti, anche bibliografici, inseriti nell’articolo in questione, e che comunque ti riporto in fondo.
Riguardo ai suggerimenti che mi chiedi, mi limito ad invitarti a “limitarti” (i giochi di parole autoreferenziali sono sempre in agguato!…): concentrarsi, ad esempio, solamente sui teoremi di incompletezza di Gödel, magari inquadrandoli anche da un punto di vista storico, mi sembra abbondantemente più che sufficiente…A questo proposito, potresti far riferimento alla famosa lista dei 23 problemi proposti da David Hilbert al Congresso internazionale dei matematici tenutosi a Parigi nel 1900 (http://it.wikipedia.org/wiki/Problemi_di_Hilbert), il secondo dei quali consisteva nel cosiddetto “Entscheidungsproblem” (problema della decisione), cioè stabilire se fosse dimostrabile la coerenza degli assiomi dell’aritmetica dei numeri reali. Da questo problema prese le mosse una riflessione sui fondamenti stessi della matematica che ebbe, con i teoremi di Gödel, un’inaspettata conclusione. Concludo riportandoti l’ultima parte del mio articolo precedente:
“…Il tema è veramente affascinante e complesso, e posso solo concludere con l’indicazione di quale riferimento web: naturalmente le pagine di Wikipedia sul concetto di verità (http://it.wikipedia.org/wiki/Verit%C3%A0) e più specificamente sui Teoremi di Gödel (http://it.wikipedia.org/wiki/Teoremi_di_incompletezza_di_G%C3%B6del), e poi una paginetta su Gödel, Church e Tarski ricca di link (http://www.netmeta.com/tesi/autoref/mate/godel.htm). Sempre di A.Tarski, ti segnalo, se riesci a recuperarlo, l’articolo "Verità e dimostrazione", sul n.50 della rivista Le Scienze del 1972, edizione italiana di Scientific American, presente anche in una bella raccolta, con lo stesso titolo, nella collana Letture da Le Scienze del 1978. Infine, se vuoi cimentarti nella lettura di un libro affascinante quanto “illeggibile” fino in fondo ti segnalo, di Douglas Hofstadter, “Gödel, Escher, Bach: un’eterna ghirlanda brillante “,
cui Wikipedia dedica una intera voce (http://it.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del,_Escher,_Bach)….”
Buon lavoro!
Massimo Bergamini
Ricevo da Matteo la seguente domanda:
Salve,
io credo di portare all’esame il concetto di "verità" nelle varie materie, negli ultimi secoli…esprimendo alla fine una mia idea di verità..ha qualche idea su cosa possa inserire di matematica???
Grazie
Gli rispondo così:
Caro Matteo,
il compito che ti sei dato è certamente tanto interessante quanto difficile, vasto e, forse, un po’ ambizioso per i limiti di una tesina di esame di Stato, ma certamente la matematica non può essere assente da una discussione sulla “verità”. Questo spazio, e la modestia delle mie conoscenze, non mi consentono certo di dilungarmi in proposito; mi limito quindi a offrirti due spunti, entrambi riguardanti il rapporto tra verità e dimostrazione in matematica: il primo è “antico”, e sta all’origine della matematica nel senso in cui ancora la intendiamo: gli “Elementi” di Euclide come canone di ciò che da allora si è inteso per verità matematica: un sistema formale ipotetico-deduttivo e di regole di deduzione in cui, da alcune fondamentali verità assiomatiche se ne ricavano altre (teoremi). Il secondo è “moderno”, e rappresenta in qualche modo il punto di crisi di questa visione ottimistica della coerenza e della completezza dell’edificio matematico: mi riferisco ai teoremi di incompletezza di Gödel, coi quali si pone una distinzione tra verità e dimostrabilità in senso limitativo (non tutte le verità di un sistema assiomatico abbastanza “ricco” da contenere una assiomatizzazione dell’aritmetica sono dimostrabili all’interno del sistema) e alla critica del concetto di verità in studiosi di logica come A.Church e A.Tarski.
Il tema è veramente affascinante e complesso, e posso solo concludere con l’indicazione di quale riferimento web: naturalmente le pagine di Wikipedia sul concetto di verità:
e più specificamente sui Teoremi di Gödel:
e poi una paginetta su Gödel, Church e Tarski ricca di link:
Sempre di A.Tarski, ti segnalo, se riesci a recuperarlo, l’articolo "Verità e dimostrazione", sul n.50 della rivista Le Scienze del 1972, edizione italiana di Scientific American, presente anche in una bella raccolta, con lo stesso titolo, nella collana Letture da Le Scienze del 1978. Infine, se vuoi cimentarti nella lettura di un libro affascinante quanto “illeggibile” fino in fondo ti segnalo, di Douglas Hofstadter, “Gödel, Escher, Bach: un’eterna ghirlanda brillante “,
cui Wikipedia dedica una intera voce:
Buon lavoro!
Massimo Bergamini