Un integrale di una funzione irrazionale
Ricevo da Alessandro la seguente domanda:
La prego di aiutarmi nella risoluzione di questo integrale.
\[\int{\sqrt{1+{{x}^{2}}}dx}.\]
Gli rispondo così:
Caro Alessandro,
si può procedere con questa sostituzione:
\[\sqrt{1+{{x}^{2}}}=t-x\to 1+{{x}^{2}}={{t}^{2}}+{{x}^{2}}-2tx\to x=\frac{{{t}^{2}}-1}{2t}\to \sqrt{1+{{x}^{2}}}=\frac{{{t}^{2}}+1}{2t}\]
che implica
\[dx=\frac{{{t}^{2}}+1}{2{{t}^{2}}}dt\to \int{\frac{{{\left( {{t}^{2}}+1 \right)}^{2}}}{4{{t}^{3}}}dt=\int{\left( \frac{t}{4}+\frac{1}{2t}+\frac{1}{4{{t}^{3}}} \right)dt}}.\]
L’integrale facilmente risulta
\[\frac{{{t}^{4}}-1}{8{{t}^{2}}}+\frac{\ln t}{2}+c=\frac{x\sqrt{1+{{x}^{2}}}}{2}+\frac{\ln \left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)}{2}+c\]
dove si è utilizzata l’uguaglianza
\[x\sqrt{1+{{x}^{2}}}=\frac{\left( {{t}^{2}}-1 \right)}{2t}\frac{\left( {{t}^{2}}+1 \right)}{2t}=\frac{{{t}^{4}}-1}{4{{t}^{2}}}.\]
Massimo Bergamini