L’esperto risponde – Matematica

Massimo Bergamini è stato preside del liceo classico San Carlo di Modena, insegnante di matematica e fisica e formatore P.N.I. e autore, insieme a Graziella Barozzi e Anna Trifone, di un’ampia collana di libri di matematica per le superiori. Ama l’arte del Rinascimento, la montagna e la Toscana, i libri gialli, Topolino, Mozart e il gelato.


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Negli ultimi anni il prof. Bergamini ha risposto a domande specifiche sulla seconda prova di matematica. Puoi consultare l’archivio di tutte le domande sul sito La prova di matematica all'esame di Stato per il liceo scientifico.

Attenzione: Quest’anno l’esperto risponderà alle domande che a suo giudizio sono di interesse generale.

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Circonferenze

pubblicata il 14 marzo 2010 in geometria analitica |
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Ricevo da Simone la seguente domanda:

Fra le circonferenze passanti per \(A(-1;-2)\) e \(B(-1;4)\), determinare quella:
  • passante per l’origine; 
  • passante per \(P(1,6)\);
  • tangente alla retta x=2.
Considerare le circonferenze di equazioni
                     \[{{\gamma }_{1}}:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2\text{              }{{\gamma }_{2}}:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4.\]
Verificare che le tangenti a \({{\gamma }_{1}}\) mandate da qualsiasi punto di \({{\gamma }_{2}}\) sono sempre perpendicolari tra loro.

Un integrale definito

pubblicata il 14 marzo 2010 in analisi infinitesimale, integrali |
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Ricevo da Giorgio la seguente domanda:

Gentilissimo prof.
non riesco a svolgere il seguente integrale definito:
\[\int\limits_{\ln \left( \frac{\pi +4}{12} \right)}^{\ln \left( \frac{\pi +2}{6} \right)}{\frac{{{e}^{x}}dx}{se{{n}^{2}}\left( 3{{e}^{x}}+1 \right)}}\]
\( (R.: 1/3) \).
La ringrazio infinitamente
Giorgio

Un integrale di una funzione irrazionale

pubblicata il 14 marzo 2010 in analisi infinitesimale, integrali |
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Ricevo da Alessandro la seguente domanda:

La prego di aiutarmi nella risoluzione di questo integrale.
 
                                                                   \[\int{\sqrt{1+{{x}^{2}}}dx}.\]
 

Un (vecchio) problema di calcolo combinatorio

pubblicata il 13 marzo 2010 in calcolo combinatorio |
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Ricevo da Virgi la seguente domanda:

Salve professor Bergamini,
c’è un problema che proprio non riesco capire. E’ tratto dal volume 4 del manuale blu di matematica. Chiedo questo:
Calcola in quanti modi si possono sistemare otto oggetti distinti in sei scatole diverse sapendo che in ogni scatola deve esserci almeno un oggetto.
Il procedimento che ho seguito è questo:
ho scelto i due oggetti "in più" poiché le scatole sono sei e gli oggetti otto.
\[D_{6,2} (con\;\;ripetizione) =6^2=36\]
ho posto sei degli oggetti in ogni scatola
\[P_6=6!=720\]
Infine ho distribuito casualmente gli oggetti
\[C_{8,2}=(8\cdot 7)/2!=28\]
poi ho moltiplicato il tutto
\[36\cdot 720\cdot 28=725760.\]
Il problema è che non coincide con il risultato del libro (nuova edizione) che riporta come risultato \(191520\). Inoltre la vecchia edizione dello stesso libro porta come risultato 25920, che si ottiene moltiplicando la prima disposizione con ripetizione e la permutazione semplice. Può delucidarmi?
Grazie tante per l’attenzione.
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