L’esperto risponde – Fisica | Zanichelli Scienze Home Page di Scienze

Marco ha fatto una domanda:

ho dei dubbi sul seguente esercizio:
si hanno due sfere conduttrici concentriche di raggio rispettivamente 3cm e 6cm. sulle due sfere viene posta un stessa quantità di carica q=50pF, distribuita uniformemente. calcolare i potenziali elettrici delle due sfere nei seguenti casi:
-ammettendo che il potenziale sia nullo a distanza infinita
-ammettendo che il potenziale sia nullo sulla sfera esterna
-ammettendo che il potenziale sia nullo sulla sfera interna.

Ho calcolato i due potenziali e ho trovato V1=7,5V e V2=15V.
vorrei capire perchè le soluzioni del testo sono V1=22,5V e V2=15V nel primo caso e V1=7,5V nel secondo caso e V2=-7,5 nel terzo.

Grazie mille

Ecco la mia risposta:

Ancora una volta, mi farebbe comodo sapere quale scuola frequenti. Se, come sospetto, sei uno studente di liceo — scientifico? — immagino che tu abbia cercato di risolvere l’esercizio applicando a ciascuna sfera l’espressione del potenziale alla superficie di una sfera isolata di raggio R e dotata di una carica Q distribuita uniformemente sulla superficie. La formula in questione è:
(1)    V = Q/4πε₀R
che è valida se si pone il potenziale uguale a zero all’infinito.

È utile ricordare come si ricava questa espressione. Il campo elettrico all’esterno della sfera carica isolata si può determinare con l’aiuto del teorema di Gauss. Scegliendo una superficie di flusso sferica concentrica con la sfera data, si trova che a distanza R´ dal centro il flusso vale E*4πR´². Uguagliandolo alla carica interna Q divisa per ε₀ si ottiene
(2)    E = Q/4πε₀R´²
cioè l’espressione del campo elettrico di una carica puntiforme. Questa espressione vale per R´≥R. Poiché l’espressione di E coincide con quella di una carica puntiforme, anche l’espressione di V deve coincidere con quella del potenziale di una carica puntiforme. Se si pone V=0 all’infinito, si ha pertanto
(3)    V = Q/4πε₀R´.
Sulla superficie della sfera si avrà V = Q/4πε₀R.

Ma se all’interno della sfera di raggio R₂ = 6 cm ce n’è un’altra di raggio R₁ = 3 cm, con la medesima carica, il sistema si comporterà, per R´≥R₂, come una carica puntiforme di valore doppio e il potenziale sulla superficie della sfera sarà 2Q/4πε₀R₂. Ecco perché il testo dà un valore doppio del tuo per V₂.

Per trovare V₁ bisogna considerare il campo elettrico nello spazio fra le superfici delle due sfere. Il teorema di Gauss permette di stabilire cha conta soltanto la carica interna Q₂, quindi il campo elettrico per  R₂>R´≥R₁ è quello di una carica puntiforme Q₂:
(4)    E = Q₂/4πε₀R´².
Integrando (4) fra R₂ e R₁ si ottiene la differenza di potenziale:
(5)    ∆V = (Q₂/4πε₀)(1/R₂ – 1/R₁)
il cui valore per altro coincide con la differenza di potenziale di 7,5 V che tu stesso hai trovato.
Poiché il ragionamento precedente ci ha dato V₂ = 15 V, si ha V₁ = 22,5 V.

Per gli altri due casi ti basta sapere che, come abbiamo visto, il potenziale V₁ è di 7,5 V maggiore di V₂.

Spero di essere stato chiaro, ma la questione è complessa: perciò, se qualcosa è ancora oscuro, chiedi ancora.

Fabio mi scrive:

Salve, devo calcolare la gittata di un proiettile sparato da 300 m di altezza con velocità inclinata di 30° rispetto all’orizzontale.
Pensandoci su, ho provato a ragionare così: La caduta è un moto parabolico, quindi devo comporre un moto rettilineo uniforme nel verso orizzontale e un moto uniformemente accelerato nel verticale. Ho provato a scrivere le due equazioni da mettere a sistema, ma non riesco a cavare un ragno dal buco con il seno e il coseno.

Ecco la mia risposta:

Introduciamo un sistema di riferimento costituito da due assi coordinati: l’asse x è orizzontale e orientato nel verso del moto del proiettile, mentre l’asse y è verticale e orientato verso l’alto. Poniamo l’origine al suolo, sotto la posizione iniziale del proiettile.

Le due equazioni del moto sono rispettivamente:
lungo x: x(t) = x₀ + v_x0t = v₀cos(30°)t
lungo y: y(t) = y₀ + v_y0t + ½at² =h₀ + v₀sin(30°)t – ½gt².

Per trovare la gittata calcoliamo prima l’istante t_f in cui il proiettile ricade al suolo ponendo y(t) =0 e considerando la sola soluzione positiva. Sostituendo tale valore di t in x(t) determineremo la gittata.

Rosa ha precisato:

… Le ho fatto quella domanda perchè mi viene richiesto in un problema di calcolare la variazione di energia potenziale di una carica elettrica con q dato che percorre 20 cm in un campo elettrico uniforme E nella stessa direzione ma verso opposto al campo elettrico….

Ecco il mio commento:

In questo caso è particolarmente immediato calcolare la variazione di energia potenziale come lavoro che è necessario compiere con una forza esterna per portare la carica dalla posizione iniziale a quella finale senza accelerarla apprezzabilmente. Si ha
          ΔU = W_est = F_estΔs = qEΔs
in quanto la forza esterna F_est necessaria muovere la carica è uguale e opposta alla forza elettrica: la sua intensità è appunto qE e la sua direzione e il suo verso sono uguali a quelli dello spostamento.

Rosa mi ha scritto:

ascolti sto studiando fisica e mi sono venuti un sacco di dubbi: nei problemi con l’attrito la f risultante é uguale alla forza peso meno quella d’attrito? poi le sarei molto grata se mi potesse spiegare il concetto di potenziale e di energia potenziale di una carica elettrica…un’ultima cosa non ho capito se dire differenza di potenziale ai poli o tensione ai poli è la stessa cosa…grazie mille x l’aiuto

Ecco la mia risposta:

Per quanto riguarda le forze di attrito, la prima cosa da tenere presente è che le forze sono vettori e si sommano vettorialmente. Ora, in generale le forze di attrito sono proporzionali alla componente della forza peso perpendicolare alla superficie di contatto, ma sono parallele a tale componente. Per una scatola trascinata su una scrivania, la forza peso ha direzione verticale (perpendicolare alla scrivania) mentre la forza di attrito ha direzione orizzontale (parallela alla scrivania e lungo la direzione del trascinamento, ma con verso opposto a questo). La risultante è in questo caso diretta come la diagonale del rettangolo formato dalle due forze, e la sua intensità si può calcolare con il teorema di Pitagora.
  Se la scatola è appoggiata su un piano inclinato, la forza peso sarà sempre perpendicolare al suolo, mentre la forza di attrito sarà parallela al piano inclinato, e fra esse ci sarà in generale un angolo ottuso.

Per quanto riguarda il potenziale elettrico, la questione è delicata e complessa. Sarebbe molto più facile darti una risposta utile se tu mi dicessi cosa ti è stato spiegato, naturalmente nella misura in cui l’hai capito. Comunque, precisiamo che una carica elettrica isolata non possiede energia potenziale. Soltanto un sistema di cariche elettriche interagenti, in cui ciascuna delle cariche subisce il campo elettrico totale generato da tutte le altre, si può dire che possegga un’energia potenziale. Puoi considerare quest’ultima uguale al lavoro fatto nell’avvicinare le cariche fra loro, molto lentamente e partendo da una distanza praticamente infinita.
  Chiamiamo U l’energia potenziale di un sistema di cariche, per esempio due cariche positive Q e q. Se dividi U per q ottieni quello che per definizione è il potenziale elettrico V generato da Q nel punto in cui si trova q. Questo potenziale V dipende soltanto da Q e non da q. È una proprietà dello spazio che circonda Q. Mentre non ha senso parlare di energia potenziale della sola carica Q, ha perfettamente senso parlare del potenziale creato in un punto dello spazio dalla singola carica Q.

Infine, sì: la differenza di potenziale fra due punti dello spazio (non necessariamente i poli di una batteria) e la tensione fra gli stessi due punti sono espressioni sinonime che indicano la stessa grandezza ΔV.

Ho provato a dare una risposta ai tuoi dubbi ma non è detto che li abbia capiti. Se sei ancora dubbiosa, scrivi!